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Dans les structures hyperstatiques, la compatibilité des déformations dicte la distribution exacte des moments — un défi que les méthodes simplifiées de l’EC2 n’adressent que partiellement.
Cet article explique comment une structure hyperstatique possède, pour chaque situation de chargement, une solution exacte unique déterminée par la déformabilité réelle des sections et des appuis.
Il montre que les sollicitations dépendent étroitement de l’inertie évolutive, du ferraillage, de la fissuration progressive et de la plastification, rendant l’analyse séquentielle EC2 parfois insuffisante.
Sont enfin explorés enfin les conditions d’une analyse non linéaire permettant de dépasser les limites intrinsèques du schéma “analyse structurale → calcul des sections”.
Ce sujet constitue la troisième partie d’un dossier consacré au comportement flexionnel des poutres en béton armé (3/4).
Retour vers l'article précédent : Lois matériaux EC2 : linéarisation des courbes et fissuration progressive
L’hyperstatisme des structures
D’une manière générale, dans l’étude mécanique d’une structure, deux cas se présentent :
- soit la structure est isostatique, auquel cas la détermination des sollicitations ne nécessite pas la connaissance des matériaux constitutifs de la structure. Il est possible de déterminer les réactions sur appuis à l’aide des méthodes de la mécanique des solides indéformables, puis de déterminer les torseurs des sollicitations, par exemple à l’aide d’une méthode des coupures.
- soit la structure est hyperstatique, et dès lors il existe, de prime abord, différents cheminements possibles des charges à travers la structure, depuis les points d’application vers les appuis. Afin de déterminer le cheminement exact, il est nécessaire de faire intervenir la notion de déformabilité de la structure et des appuis, qui met en jeu la géométrie des sections et le comportement mécanique des matériaux qui les composent.
Qu’il s’agisse d’une structure isostatique ou hyperstatique, pour 1 structure dont la géométrie et les lois de comportement des matériaux sont parfaitement définies, il existe pour chaque situation de chargement, au maximum 1 solution exacte et unique au problème mécanique.
L’illustration ci-dessous montre un exemple de structure hyperstatique d’ordre 2 : Il s’agit d’une poutre continue sur 3 travées, supposée porter une charge linéique uniforme de 97,5kN/ml. Sur la base du schéma RDM, contrairement à une poutre sur 2 appuis, il n’est pas possible de déterminer de prime abord les 4 réactions d’appuis, le moment M(x) et le tranchant V(x) subi par la poutre, sans connaître les caractéristiques de ses sections.
Nous précisons donc la description de l’exemple, et supposons la poutre composée d’un matériau linéaire élastique de section rectangulaire variable, allant de 100x20ht à 100x54ht. Les configurations 1 et 2 présentent des choix de conception structurels différents, qui peuvent résulter de différentes contraintes : méthodes de réalisation, gabarit géométrique à respecter, esthétique…
La configuration 1 prévoit une hauteur plus importante en travée, tandis que le configuration 2 prévoit une hauteur plus importante aux appuis intermédiaires. A un rapport de hauteur de section de 2,7 correspond un rapport d’inertie de flexion de 20 ! Chacune des configurations se rapproche d’une situation limite isostatique différente :
Le problème de l’analyse séquentielle selon l’eurocode 2
Dans l’exemple précédent, nous avons abordé le cas d’une structure hyperstatique élémentaire utilisant un matériau élastique linéaire, avec seule la hauteur de section variable. Nous avons vu combien la distribution des sollicitations (ici M(x)) est dépendante de la hauteur de la structure.
Dans le domaine du béton armé à l’eurocode 2, les variations de hauteur sont souvent moins caricaturales que dans l’exemple, toutefois la déformabilité des sections dépend de nombreux autres paramètres :
- les choix de matériaux: béton (résistance caractéristique retenue) et acier (résistance et classe) qui peuvent varier en différents endroits de la structure
- la largeur (et la hauteur) des sections béton , éventuellement impactée par la diffusion des contraintes normales
- le taux et les dispositions de ferraillage, qui est continument variable le plus souvent
- la fissurabilité progressive des sections, à l’ELS et à l’ELU
- la plastification des aciers et du béton, notamment à l’ELU
Dans une structure béton hyperstatique, nous aurons donc par principe, une forte dépendance de la distribution des sollicitations au caractéristiques des sections. Cela met en exergue les limites du principe général de l’eurocode 2, qui propose de déterminer les sollicitations avant de « concevoir » (design) la structure et calculer les sections.
Comme vu dans le premier article de ce dossier, consacré à la logique du calcul selon l’eurocode 2, le texte de l’eurocode 2 autorise au §5.4 des simplifications importantes de l’analyse structurale à l’ELU pour résoudre cette problématique et assurer la logique séquentielle fonctionnelle en pratique, sans itération.
L’analyse élastique linéaire autorise ainsi d’ignorer la présence des aciers, la fissuration du béton armé, la plastification des matériaux et leur caractère non linéaire.
L’analyse à redistribution limitée §5.5 et l’analyse plastique §5.6 constituent des variantes de l’analyse élastique linéaire, dans lesquelles l’EC2 introduit, en un nombre limité de points, des mécanismes simplifiés de plastification permettant d’améliorer l’analyse structurale à l’ELU, tout en préservant le processus explicite, et la non nécessité d’itérer entre l’étape 1 et l’étape 2.
La suite de ce chapître vise à explorer les conditions de résolution du problème mécanique exact, introduisant ainsi l’analyse non linéaire (EC2 §5.7).
La non-linéarité du comportement d’une section de béton armé
Outre la variation continue des caractéristiques géométriques de la poutre le long de son axe (coffrage, ferraillage, choix de matériaux), qui influe sur l’inertie de flexion et donc la distribution des sollicitations comme démontré précédemment, chaque section de poutre voit par ailleurs son « inertie » varier de façon très importante et de façon non linéaire, en fonction de l’amplitude du moment.
Dans l’absolu, à moins de simplifier l’analyse structurale comme vu précédemment, la notion même d’inertie n’existe pas si l’on utilise le comportement des matériaux décrit dans l’eurocode 2 : on ne peut pas relier courbure et moment d’une section via un coefficient EI.
Dans le cadre de l’analyse structurale, au bouclage de l’étape 2 vers l’étape 1 indiqué précédemment au fur et à mesure de l’évolution des dimensions de coffrage et des aciers, doit donc s’ajouter un bouclage au sein même de l’analyse structurale afin de déterminer la solution numérique.
Ci-dessous sont reproduites les courbes indiquant la relation entre courbure et moment, dans les cas courants d’une dalle en flexion simple :
et d’une poutre en flexion simple :
NB : Pour faciliter l’exposé, nous supposons dans la suite que le poids propre de la structure reste négligeable dans le calcul des actions. En toute rigueur, il existe une dépendance indirecte entre le choix des matériaux et le résultat de l’analyse structurale y compris dans le cas isostatique, puisque le poids propre de la structure intervient dans les données d’entrée (Actions) de l’analyse structurale.
Cas général d’un système isostatique en béton armé
Comme évoqué précédemment, dans un système isostatique, la distribution des moments et des efforts normaux ne dépend pas des géométries du coffrage et du ferraillage, ni même des lois de comportement retenues. Il n’y a pas donc pas d’enjeu de recherche itérative pour établir la compatibilité des déformations.
On procède explicitement à la résolution du problème mécanique, en commençant par la détermination des sollicitations : efforts normaux, moments, tranchants sans connaître de prime abord les lois de comportement et la géométrie des sections, puis au calcul des sections et des matériaux, et enfin on vérifie les critères ELS, après avoir corrigé le modèle structurel.
Cas général d’un système hyperstatique en béton armé
A l’inverse, dans une poutre hyperstatique, c’est la compatibilité des déformations de flexion qui va déterminer la distribution exacte des moments, des fissurations, des plastifications et en définitive l’ensemble des résultats du calcul de l’analyse structurale.
Pour lancer le calcul, nous sommes obligés de commencer par formuler une hypothèse sur le choix des matériaux, les géométries de coffrage, les définitions de ferraillage, car l’analyse structurale dépend de ces éléments. De surcroît, l’analyse structurale devient itérative pour un jeu d’hypothèses donné, car les sollicitations dépendent des fissurations et plastifications des sections, qui dépendent elles mêmes des sollicitations.
Pour un jeu d’hypothèses donné sur les sections, la résolution du problème n’est plus explicite et nécessite des boucles jusqu’à ce que, d’une itération à la suivante, la distribution des sollicitations {N,T,M} n’évolue plus, ce qui marque la convergence de l’étape 1.
A nouveau, on rappelle que pour une configuration de géométrie de poutre donnée (béton et aciers), avec un chargement donné, des lois de comportement données et une distribution de ferraillage donnée, il existe, au maximum, une seule distribution des sollicitations {M(x),N(x),T(x)} qui valide en toute abscisse la compatibilité entre la courbure externe de la poutre (la dérivée seconde de la flèche) et l’équilibre mécanique des sections de béton armé.
Une fois cette solution exacte déterminée, on procède alors à l’étape 2 qui consiste à « calculer les sections », et qui elle, reste explicite. Tant que le calcul de l’étape 2 conduit à une modification des classes de résistances (fck, fyk) retenues pour les matériaux, des géométries de coffrages (b,h,…) ou des définitions de ferraillage (A,A’…) , nous devons relancer l’étape 1 d’analyse structurale avec les nouvelles hypothèses de sections.
Le calcul d’une structure procède donc d’un double schéma itératif imbriqué.
Lorsque le dimensionnement de la structure ELU est terminé, on peut procéder aux vérifications des critères ELS en relançant l’analyse structurale sur la base des sections (coffrages et armatures et classes de matériaux) retenues, et en entrant les différentes situations de chargement ELS.
Même si les géométries et matériaux n’évoluent plus, l’analyse structurale pour les vérifications ELS demeure itérative comme précédemment, jusqu’à l’obtention de la solution unique exacte compatible en déformation, correspondant à chaque situation de chargement.
Dans le prochain article, nous entrons le détail de l'étude des poutres continues selon les méthodes simplifiées de l'eurocode 2 : analyse linéaire, à redistribution limitée, et plastique : Poutres continues : rotules plastiques, redistribution et limites des analyses élastiques