Calcul des effets de dilatation et gradient thermique

Analyse thermo‑mécanique des sections BA : lois de comportement, effets de la dilatation et du gradient, et cas où l’EC2 impose de les prendre en compte.

Cet article aborde le comportement thermo‑mécanique des éléments en béton armé soumis à dilatation thermique ou à gradient, en s’appuyant sur les hypothèses de l’Eurocode 2.
Sont d’abord étudiées : la modification des lois de comportement (béton/acier) et l’évolution des schémas mécaniques (déformations, contraintes, efforts).
L’article examine ensuite les situations réglementaires où les effets thermiques doivent être considérés, illustre le comportement physique réel, et présente les concomitances gravité/thermique qui peuvent devenir dimensionnantes.
Il constitue la deuxième partie du dossier « Comportement axial des éléments fléchis en béton armé » (2/4).

 

 

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La prise en compte des effets thermiques au niveau local

 

Modification des lois de comportement du béton et de l’acier

 

Une variation uniforme de température génère des contraintes dans une pièce de béton, lorsque la libre dilatation de cette dernière est contrariée, comme l’illustre le dessin ci-dessous :

 

 

La loi de comportement des matériaux : σ = f (ε) est modifiée comme suit :

σ = f (ε – ε_T)

avec  ε_T = - k_T.ΔT et, pour le béton et l’acier : k_T=10^-5 K^-1 (EC2 §3.1.3(4)).

Ainsi, pour une augmentation de 20°, ε_T = - 2.10^-4 :

• Si la poutre est parfaitement libre, σ = 0 y compris après l’augmentation de température. Par suite ε = -2.10^-4 . Une poutre de 6m s’allongera donc de u_x = ε L = 1,2mm quelque soit son module et sa section.

• Si elle est parfaitement bloquée, on aura u_x=0 donc ε= 0, ce qui générera une contrainte de compression de σ_N = - E ε_T. (en considérant la loi de Hooke soit f(x)=E.x) quelque soit sa section.

L’eurocode nous permet d’arrondir le coefficient linéaire de dilatation thermique k_T à une valeur forfaitaire unique applicable à la fois au béton et à l’acier. Cette hypothèse  évite avantageusement la gestion d’autocontraintes entre le béton et les aciers en cas de variation thermique. On verra plus loin qu’il n’en est pas de même pour le phénomène de retrait du béton.

 

 

Quelques remarques :

• On rappelle que par convention, ε>0 correspond ici à un raccourcissement et σ>0 à une compression.

• La courbe retenue pour le comportement du béton à l’ELU n’est pas l’une des 2 lois simplifiées : bi-linéaire et parabole rectangle, mais la loi non linéaire la plus générale proposée par l’eurocode 2, exigée notamment pour aborder l’étude de la compatibilité des déformations. Nous généralisons dans notre exposé l’usage de cette loi pour toutes les études ELU et ELS, à la modification des paramètres près (fcd->fcm, Ecd->Ecm, fctd->fctm…). On intègre dans cette loi la capacité en traction du béton autorisée par l’eurocode soit sur ce dessin à l’ELU : fctd.

• La courbe retenue pour le comportement de l’acier à l’ELU est la courbe bi linéaire avec palier inclinée. C’est également la loi la plus précise proposée par l’eurocode 2. De la même façon, nous utilisons de manière généralisée cette loi pour l’ELU mais aussi pour l’ELS (en remplaçant f_yd par f_yk).

• On observe que l’augmentation de température conduit a une simple translation horizontale « vers la gauche » de la courbe des relations contraintes-déformations. Compte tenu de l’amplitude des déformations admissibles pour l’acier notamment à l’ELU dans la partie plastique, l’effet de dilatation est faiblement visible pour le matériau acier, tandis qu’il reste très visible pour le matériau béton.

• Vérifions le sens de la translation: si la contrainte est nulle (pièce librement dilatable), la lecture de la courbe montre bien qu’on obtiendra un ε<0 ce qui correspond bien à un allongement de la pièce. Inversement, si la déformation est empéchée (pièce bloquée axialement), la lecture de la courbe conduit bien à un état de contrainte σ>0 dans le matériau.

 

Modification de la construction des schémas mécaniques des sections de béton armé

 

On considère ici la section à mi portée d'une poutre isostatique en flexion à l'ELU, non bloquée axialement, et subissant une augmentation de température de 50°.

 

 

Sur la base des lois de comportements décrites ci-dessus, le schéma des déformations de la section ε(y) se dessine de la façon ci-dessus. On suppose ici que l’augmentation de température est identique sur la hauteur totale de la section (pour toute valeur de y de 0 à h).

La hauteur de l’axe neutre est définie par le point y_NA tel que σ(y_NA)=0. Après variation thermique, ce point ne coïncide plus avec ε(y_NA) = 0.  Cette précision est importante : En effet, au dessus de l’axe neutre y_NA, on est bien dans la zone des bétons comprimés, même si ε<0, tandis que sous l’axe neutre, on est bien dans la zone des bétons tendus.

De la même façon, l’élongation des aciers ne se compte plus à partir de ε = 0, mais bien à partir de ε = ε_T, c’est pourquoi graphiquement, les barres horizontales qui représentent l’élongation des aciers sont ainsi représentées. La mise en place de la droite ε(y) = ε_T est essentielle dans la construction du schéma des déformations et l’étude mécanique de la section de béton armé.

 

La variation de température dans une pièce est souvent approchée sous forme d’une variation linéaire sur la hauteur y de la pièce. Dans l’exemple du schéma ci-dessous, la surface de la pièce a vu sa température augmentée, tandis que la sous-face de la pièce s’est refroidie.

 

 

On peut ainsi décomposer la variation thermique en 2 actions : un effet d’augmentation (ou d’abaissement) de la température moyenne de la pièce, et un effet de gradient de long de la hauteur de la pièce, autour de cette valeur moyenne.

 

Reprenons l'exemple précédent, mais cette fois avec une élévation de température de 50° en surface, et un abaissement de température de 10° de la sous face. La section doit toujours équilibrer le même moment de flexion (522kNm). Le schéma mécanique de la section de béton armé évolue comme suit :

 

 

A nouveau, la construction des schémas d’équilibre de la section nécessite un tracé de la loi ε_T(y), qui n’est désormais plus une droite verticale du fait de l’effet de gradient thermique. On constate qu’abaisser la température de la sous-face (de +50° à -10°) a conduit à diminuer la courbure de la poutre en flexion ainsi que son allongement, ce qui est physiquement ce à quoi on pouvait s’attendre.

 

Quand appréhender les effets thermiques dans les structures en béton armé ?

 

Comme on vient de le constater et de manière générale, les effets thermiques peuvent entraîner des conséquences sur la courbure et la longueur des poutres, et par suite sur les effets de second ordre des poteaux, sur les moments de flexion des poutres hyperstatiques, sur les efforts normaux des structures bridées axialement, etc…

Nous allons voir ci-après que les effets thermiques sont à intégrer dans certaines vérifications précises d’une étude de structure, mais que le nombre de ces vérifications reste toutefois limité à certaines configurations.

 

L’approche Eurocode des effets thermiques

 

Tout d’abord, dans le domaine du bâtiment, lorsque la dimension des blocs entre joints ne dépasse pas la longueur d_joint définie dans l’EC2 §2.3.3 (3), les effets de la température peuvent être négligés dans l’analyse globale. Sur la base d’une variation thermique à considérer (voir schéma précédent), on pourrait donc isoler le terme de gradient thermique pour étudier ses effets sur chaque élément de la structure, tout en négligeant le terme de dilatation thermique.

Ensuite, l’examen des coefficients partiels applicables aux charges de Température (EC0 Tableau A.1.1) : Ψ₀ = 0.6, Ψ₁ = 0.5, Ψ₂ = 0, nous permet de déduire que les actions thermiques sont négligeables :

• Dans un cas de charge accidentel à l’ELUA (sauf bien sur si la charge thermique constituait l’action accidentelle)
• Dans la vérification de l’ouverture des fissures
• Dans la vérification de la flèche totale, ces deux dernières vérifications s’effectuant en effet à l’ELS QP

En ce qui concerne les vérifications ELU, le dimensionnement des sections fait appel, sur la majeure partie du linéaire d’un élément, au comportement plastique de l’acier (ε = de  22,5 10^-3 en classe A jusqu’à 45 10^-3 en classe B). Un gradient thermique déjà très significatif de 50° par exemple, ne générera sur ces valeurs qu’un petit décalage de ε de ±0,25 10^-3, ce qu’on peut considérer la plupart du temps comme négligeable.

C’est la raison pour laquelle l’Eurocode 2 §2.3.1.2 (2) prévoit que soient négligés les effets thermiques à l’ELU, sauf dans quelques configurations précises par exemple :

• Pour des poteaux élancés dont le second ordre peut être influencé par un gradient thermique à l’origine d’une variation de courbure
• Pour les poutres continues peu ductiles (très sollicitées, fonctionnant par exemple en pivot B sur les appuis intermédiaires) dont il faut établir la compatibilité des déformations après prise en compte des nouvelles courbures.

 

L’effet du terme de gradient thermique à l’ELS caractéristique

 

Dans beaucoup de cas, nous pourrons donc limiter l’étude de l’impact thermique, à l’effet produit par le terme de « gradient thermique », à l’ELS CAR seulement, dans le but de vérifier :

• les limitations des contraintes des aciers
• les flèches nuisibles
• les limitations des contraintes du béton, dans les classes d’exposition qui le nécessitent.

C’est en effet à l’ELS que les effets de gradient thermique auront le plus d’impact car les matériaux travaillent dans leur plage de fonctionnement élastique, donc une variation de ε ±0,25 10^-3 peut être tout à fait significative dans la vérification des critères.

Afin que l’étude reste enveloppe et sécuritaire, il est important de tenir compte de la résistance en traction du béton permise à l’eurocode 2 : soit fctm, soit fctm,fl , et de la fissuration progressive permise via le coefficient ς (EC2 formule (7.19)). En effet, ces notions conduisent à diminuer le taux de  fissuration du béton. Les sections étant moins « souples » en flexion, les effets induits par la charge thermique sont plus importants.

Il est important de tenir compte également du fluage, cette fois pour ne pas surestimer les effets. L’ELS caractéristique, autrefois appelé « rare », est une combinaison qui n’est amenée à se produire que rarement dans la vie de l’ouvrage. Il est loisible de supposer que cette occurrence se déroulera une fois le fluage bien avancé sinon terminé (sous les charges permanentes à minima).

Enfin, s’il est important de tenir compte du fluage pour évaluer l’effet des variations thermiques, on devrait tout autant mettre en concomittance l’effet du retrait en complément, comme nous le verrons plus bas.

 

Situations de chargement dimensionnantes en présence d’un gradient thermique

 

A l’instar de la comparaison entre une pièce librement dilatable et une pièce bloquée axialement, l’effet d’un gradient thermique sur une poutre en flexion dépendra de l’hyperstatisme de la poutre. L’exemple ci-dessus présente l’allure et le sens des courbes de flèche u  et de moment M obtenues dans le cas d’un gradient thermique chauffant la surface et refroidissant la sousface.

 

 

Lorsque l’on applique un gradient thermique sur une poutre bridée en déformation, la contrainte dans les aciers tendus du côté refroidi augmente, et la contrainte de compression du béton du côté réchauffé augmente. Ainsi pour une poutre béton armé soumise à la fois à des charges d’exploitation et un gradient thermique, les cas dimensionnants seront la concomittance des situations de chargement et des sens de gradient suivants :

 

 

Dans l'article suivant, nous abordons le phénomène de retrait : Analyse axiale, retrait du béton et dilatation thermique des ouvrages fléchis - la mécanique du retrait (3/4)