Calcul des effets du retrait du béton

Analyse du retrait du béton, des auto‑contraintes induites, des différences avec les effets thermiques, et conditions d’application de la formule EC2 (7.21).

Cet article présente le comportement du béton armé soumis au retrait, en mettant en lumière les différences fondamentales entre retrait et dilatation thermique, ainsi que l’apparition d’auto‑contraintes dans les sections.
La modification des lois de comportement béton/acier et l’évolution des schémas mécaniques de section (géométrie, déformations, contraintes, efforts) y sont analysées en détail.
Enfin, l’article clarifie les conditions d’application de la formule (7.21) de l’Eurocode 2, qui propose une évaluation de la courbure due au retrait.
Il constitue la troisième partie du dossier « Comportement axial des éléments fléchis en béton armé » (3/4).

 

 

Retour sur l'article précédent : Analyse axiale, retrait du béton et dilatation thermique des ouvrages fléchis - dilatation et gradient thermique (2/4)

 

 

 

Le phénomène de retrait du béton

 

Le béton est un mélange d’eau, de granulats et de ciment. Le ciment, en présence d’eau, réagit chimiquement au cours d’une réaction exothermique conduisant à sa prise (quelques heures) puis à son durcissement (quelques jours), assurant dès lors le lien mécanique définitif entre les granulats, et constituant la matrice continue et monolithique de la matière ainsi obtenue.

La réaction chimique se fait avec réduction de volume au cours d’un phénomène appelé retrait d’auto-dessication.

Pour des questions pratiques de malaxage, l’eau est introduite en excès dans le mélange par rapport aux proportions stœchiométriques de la réaction chimique. C’est cette eau en excès qui devra s’extraire au cours tu temps conduisant à une nouvelle réduction de volume appelée retrait de dessication ou encore retrait de séchage (plusieurs mois voire années).

Outre les conditions de température et d’humidité ambiante, la cinétique du phénomène de retrait dépend de la longueur des trajets de l’eau à l’intérieur de la pièce, permettant son évaporation en surface. Elle dépend ainsi de la géométrie de cette pièce, via son « rayon moyen ».

 

Effets du retrait et effets thermiques, des mécaniques totalement différentes

 

En terme de modélisation mécanique, le retrait du béton se traite différemment des effets thermiques, car il s’applique exclusivement au béton et non aux aciers. En pratique, cela signifie qu’on ne peut pas approcher les effets du retrait par un abaissement de température.

Indépendamment de toute contrainte reliée au moment de flexion et à l’effort normal,  le phénomène de retrait du béton provoque des contraintes de compression dans les aciers, qui cherchent à s’opposer au raccourcissement. Du fait de ces résistances, le béton se retrouve de son côté en traction. Ces auto-contraintes diminuent les efforts et déformations « visibles » induites par le retrait du béton, à l’échelle de l’analyse structurale.

Inversement, une pièce en béton librement dilatable axialement ou bien isostatique en flexion, n’est pas nécessairement exempte de déformations « visibles » à l’échelle de l’analyse structurale, sous l'action du retrait.

 

La prise en compte du retrait du béton au niveau local

 

La modification des lois de comportement des matériaux

 

L’effet du retrait du béton est traité au niveau local via les lois de comportement de matériaux. Le principe est similaire à la prise en compte des effets thermiques (voir précédemment), avec deux précisions majeures :

• La loi de comportement de l’acier n’est pas impactée.
• La loi de comportement du béton ne peut translater « que vers la droite ». En effet, le phénomène de retrait conduit nécessairement à un « raccourcissement » de la matière. On écrit σ = f (ε – ε_c), avec ε_c >0.

 

La génération d’autocontraintes

 

Ci-dessous, on représente une section bi-symétrique purement comprimée, faiblement armée, librement dilatable axialement, soumise à un effet de retrait de 3 10^-4 . On voit que la pièce de béton ne se raccourcit pas de 3 10^-4, mais seulement de 2.6 10^-4, car une partie du retrait est empêchée par la présence des armatures, dont la contribution en compression augmente, à l’inverse du béton, pour lequel la compression diminue.

 

 

Le phénomène de tuilage sous gradient de retrait

 

Considérons à présent la même pièce de béton, qui serait cette fois immergée en permanence en surface, et exposée à l’air en sous face, tout en restant librement dilatable axialement et isostatique en flexion La pièce de béton ne pourra jamais faire son retrait en surface. Si on admet une allure linéaire du retrait à l’intérieur de la pièce, alors on observe un phénomène de tuilage, (la pièce se courbe en direction de la face ou le retrait est géné ici par l’eau).

 

 

NB : Le petit moment de 1kNm qui apparaît ici est un effet de second ordre provenant du modèle de poteau peu élancé utilisé pour générer l’exemple. En soit, lorsque l’élément est isostatique en flexion, le gradient de retrait ne crée pas de moment de flexion au 1^e ordre.

 

L’évaluation de la courbure liée au retrait

 

La simplification de l’étude de l’effet du retrait

 

Revenons à une hypothèse de retrait du béton homogène sur toute la hauteur d’une section : ε_c(h) = ε_c = 3 10^-4.

On suppose dans la suite de ce paragraphe, que l’analyse structurale nous a permis de déterminer le moment M et l’effort normal N auxquels la section de béton armé doit résister, et que {M, N } ne sera pas impacté par les modifications de courbure et d’allongement de la section induits par le retrait. Autrement dit, le système est isostatique en flexion, librement dilatable axialement, et soumis à aucun effet de second ordre : hypothèse {H1}, voir explication complémentaire plus bas.

Si l’on est certain que les aciers restent dans leur domaine élastique après l’effet du retrait (hypothèse {H2}), il est alors possible d’isoler cet effet, et revenir par ailleurs à l’étude usuelle d’une section de béton armé, sans retrait.  Il suffit en effet d’effectuer un changement de repère.

Statuons pour l'exemple sur une poutre isostatique, soumise à une sollicitation de N=400kN de compression, M= 5kNm à mi travée, ainsi qu'à l'effet de retrait. Considérons la section à mi travée de cette poutre :

 

 

On considère ε^fictive = ε^reelle – ε_c 

Dans ce repère fictif :

• Pour le béton, la loi redevient σ = f (ε^fictive) comme s’il n’y avait pas de retrait,
• Pour l’acier, la loi devient σ = E_s (ε^fictive+ ε_c) = E_s ε^fictive + E_s ε_c

On observe que tout ce passe comme si, avant coulage, les aciers avaient été mis en précontrainte - en compression - d’une valeur de E_s.ε_c. On peut déterminer les éléments de réduction de cet effet de précontrainte :

N_cs = ∑A_si .E_s.ε_c > 0 (compression)

M_cs=∑ (h/2-y_i) A_si .E_s.ε_c   (<0 si la majorité des aciers sont en partie inférieure)

Pour simplifier, on note A_s,tot = ∑ A_si , la section totale d’armatures, S_s,tot=∑(h/2-y_i) A_si , le moment statique total des armatures par rapport à la mi hauteur de la pièce, α_e = E_s/E_b   , coefficient d’équivalence.

On obtient :

N_cs = A_s,tot E_s.ε_c

M_cs=  S_s,tot.α_e.E_c.ε_c

L’étude de section de béton armé soumise à la sollicitation réelle {M,N} + l’effet de retrait ε_c =3 10^-4, est ainsi équivalente à l’étude de la section de béton armé soumise à la sollicitation fictive {M - M_cs  ,N – N_cs }, sans l’effet de retrait.

Remarquons, à travers l’écriture de cette formule, que le retrait du béton :

• diminue la compression dans le béton : -N_cs <0, (il augmente celle dans les aciers en proportion)
• augmente la flexion dans le béton : -M_cs > 0 (la majorité des aciers étant d'emblée prévue du côté tendu suite au dimensionnement)

Une fois l’étude de la section de béton armé, soumise à la sollicitation fictive, réalisée, on revient à la sollicitation réelle par les formules de passage suivantes :

Pour le béton :

• σ_c^reelle (h) = σ_c^fictive (h)
• ε^reelle (h) = ε^fictive (h) + ε_c

Pour les aciers :

• σ_s,i^reelle = σ_s,i^fictive + A_s,i.α_e.E_c.ε_c
• ε_s,i^reelle = ε_s,i^fictive + ε_c

On contrôlera par ailleurs que ε_s,i^reelle  < f_yk / E_s   pour chacun des aciers, afin de valider l’hypothèse {H2} du départ.

 

Exemple d’application numérique

 

On considère ici la section d’une poutre isostatique, soumise à N=0, M=58kNm.

On applique ensuite l’effet de retrait : ε_c =3 10^-4

 

 

Maintenant, plaçons-nous dans la configuration « fictive » : On remplace :

• N_reel=0 par N_fictive= N - N_cs = 0 – 6.3 10^-4. 2 10¹¹. 3 10^-4 = -37,8 kN
• M_reel=0 par M_fictive= M - M_cs = 58 10³ – 6.3 10^-4. (0.4/2- 0.35) 2 10¹¹. 3 10^-4 = 63.7 kNm
• ε_{c, reel}=3 10^-4 par ε_{c, fictive}= 0

On obtient exactement le résultat escompté : aux formules de passage près, les résultats sont absolument identiques :

 

 

Dans l’exemple ci-dessus, la courbure additionnelle due au phénomène de retrait vaut 9.6 10^-4 m^-1.

 

La formule de l’eurocode 2 sur l’effet du retrait sur la courbure

 

Le déplacement du moment statique au centre de gravité

 

Plaçons-nous en flexion compression dans l’exemple ci-après.

On considère toujours la section 20x40^HT armée de 2HA20 à d = 35cm, avec E_cm=28GPa (soit α_e=7,1), soumise à une nouvelle sollicitation : N = 500kN et M = 63kNm avant effet de retrait.

Comme vu précédemment, nous appréhendons désormais l'effet du retrait, sous la forme de l'application d'un torseur complémentaire {-N_cs, -M_cs} ajouté à {N,M}.  Toutefois, nous choisissons de séparer les torseurs {-N_cs, -M_cs} et {N,M} pour positionner {-N_cs, -M_cs} au droit du centre de gravité mécanique "CDG" de la section fissurée avant retrait, comme sur le dessin ci-dessous.

Cette section est fissurée. La position du CDG est déterminée par : y_CDG = ( α_e.A.d + b/2 y_NA²)/( α_e.A + b y_NA)  soit ici 0,15m. Ce point est au-dessus de l'axe neutre puisque nous sommes en flexion compression.

Pour la détermination de N_cs  et M_cs , les formules précédentes sont inchangées sauf l’expression de S_s,tot,  qui devient S_s,tot = Σ (y_CDG – y_i) A_si

 

Une fois le torseur {-N_cs, -M_cs} dissocié de la sollicitation hors retrait {N, M}, examinons l’impact de la composante seule -N_cs (sans M_cs), ainsi placée, sur la courbure de la section. 2 cas courants peuvent se produire :

 

 

On comprend l’intérêt du déplacement de torseur : son positionnement au droit du CDG mécanique de la section permet de minimiser l’impact de la composante N_cs du torseur sur la courbure. Dès lors, le moment de flexion -M_cs est la seule composante influant significativement sur la courbure.

Moment et courbure interne d’une section élastique étant reliés par la relation 1/r = M/(E_c.I), on parvient à évaluer l’effet du retrait sur la courbure par la relation simple (1/r)_cs = S_s,tot.α_e/I.ε_c  . C’est la formule (7.21) de l’EC2 §7.4.3 (6).

Reprenons l’exemple précédent qui correspond donc au cas 2, et appliquons la formule de l’eucocode 2 : avec le moment statique calculé au droit du CDG c’est-à-dire de l’axe neutre puisque nous sommes en flexion simple : I= 3.5 10^-4 m⁴, S = 15.4  10^-5 m³, α_e = 7.1,  on obtient (1/r)_cs = 9.4 10^-4 m^-1 : la formule donne  bien le résultat (à 2% par défaut)

 

Que se passe-t-il si l'application de {-N_cs, -M_cs} conduit à la fissuration ?

 

Il existe en effet un troisième cas : Lorsque l’application de {-N_cs}, ou bien {-M_cs}, ou bien {-N_cs, -M_cs} conduisent à faire passer la section de non fissurée à fissurée, la formule (7.21) de l’EC2 n’est plus applicable.

L'effet du retrait faisant fissurer la poutre, la courbure augmente dans des proportions bien supérieure à ce que prend en compte la formule 7.21.

Pour mémoire, l’eurocode 2 prévoit d’évaluer la courbure en supposant fictivement :

• d’un côté, la poutre non fissurée sur la totalité du linéaire, ce qui conduit à (1/r)_cs,I
• de l’autre côté, la poutre totalement fissurée sur la totalité du linéaire, ce qui conduit à (1/r)_cs,II

et de déterminer la courbure du au retrait par la formule (1/r)_cs = ζ (1/r)_cs,II + (1- ζ) (1/r)_cs,I

L’évaluation de (1/r)_cs sera donc sous évaluée sur l’ensemble du linéaire de la poutre ou le retrait conduit à la fissuration du béton en fibre inférieure, et par suite potentiellement la flèche.

 

Conditions d’application de la formule

 

Si l’on récapitule le cheminement de l’exposé, les conditions d’application de la formule (7.21) proposée dans l’eurocode 2, (1/r)_cs = S_s,tot.α_e/I.ε_c  (7.21) sont les suivantes :

• Le retrait du béton doit être supposé uniforme sur la hauteur de la section
• Le {N,M} total subi par la section ne doit pas être impacté par la modification de courbure (hypothèse {H1}): par conséquent :
  • La formule ne doit pas être utilisée pour une poutre continue
  • La formule ne doit pas être utilisée pour évaluer les effets de second ordre.

• Les aciers doivent rester dans leur domaine élastique après l’effet de retrait, soit ε_s,i^reelle < f_yk / E_s comme vu précédemment, la formule ne peut donc pas être utilisée à l’ELU. (hypothèse {H2}).

• La traction et l’augmentation de la flexion induites par le retrait, c’est-à-dire sous {-N_cs, -M_cs}, ne doivent pas avoir modifié l’état de fissuration de la section par rapport à la sollicitation déjà établie sous {N,M}

Cette dernière condition est très restrictive. Lorsqu’on souhaite utiliser la formule (7.21)  pour évaluer (1/r)_cs  en vue de calculer une flèche de poutre par intégration, on ne pourra donc rigoureusement s’en servir que si le phénomène de retrait n’augmente pas la fissuration le long du linéaire de la poutre : soit la poutre est déjà fissurée sous {N,M}, soit elle est non fissurée et reste dans cet état sous l’effet du retrait.

Revenons également sur l’hypothèse {H1}, qui suppose que la poutre soit isostatique.

Prenons par exemple une poutre 20x40ht, uniformément armée de 2HA20 supérieurs, 4HA20 inférieurs, et soumise à aucun chargement excepté un phénomène de retrait uniforme de 3 10^-4 .

Dans le cas 1, on suppose cette poutre sur 2 appuis, elle est donc isostatique. Dans ce cas, le raisonnement effectué précédemment est valable, étudier la poutre sous l’effet du retrait revient à l’étude de la poutre chargée à {M,N} soit ici {0,0} , tout en ajoutant la courbure (1/r)_cs = s_s,tot.α_e/I.ε_c. On effectue ensuite les formules de passage pour déterminer les déformations et contraintes dans le béton et les aciers. Comme la section est uniforme sur le linéaire, la courbure est une constante. Les aciers principaux étant situés en partie inférieure, le retrait conduit bien à une flexion « vers le bas » de la poutre.

Dans le cas 2, on ajoute un appui en milieu de travée, ce qui constitue un hyperstatisme d’ordre 1. Dès lors, l’application de la même action sur la poutre conduit à un comportement totalement différent : la flexion « vers le bas » ne peut s’établir en raison de l’appui central. La compatibilité des déformations de la poutre conduit à un moment de flexion sous retrait de M=7kNm sur appui. On voit bien que malgré l’uniformité de la section de béton armé, la courbure n’est pas constante le long de la poutre, la formule n’est pas applicable. Elle donne ici des résultats 2x trop importants voire de signe inverse de la réalité.

 

 

Dans le prochain article, nous étudions les situations ou le retrait doit être pris en compte, nous abordons également les cas de concomittance avec les effets thermiques, et l'impact de la fissurations sur l'ensemble des effets : Analyse axiale, retrait du béton et dilatation thermique des ouvrages fléchis - concomittance et impact de la fissuration (4/4)