Comprendre la redistribution des moments à partir de l’analyse non linéaire EC2

Le comportement des structures fléchies en béton armé est intrinsèquement non linéaire et dépend de la fissuration et de la plastification progressive des sections.

En comparaison des textes de génération antérieure (BAEL), l’Eurocode 2 bénéficie aujourd'hui des apports théoriques nécessaires à la prise en compte de ces phénomènes, permettant notamment de traiter par le calcul, le phénomène d’adaptation du béton, la formation de rotules plastiques, la redistribution des moments, ainsi que les enjeux de compatibilité des déformations.

En fonction du niveau d’analyse recherché, le texte autorise également des méthodes simplifiées encadrées, fondées sur des analyses de type élastique-linéaire, éventuellement accompagnées de redistributions forfaitaires des moments.

Ces différentes approches confèrent au cadre de calcul une certaine polyvalence et laissent à l’ingénieur une latitude d’action adaptée à la diversité des situations rencontrées en pratique.

Alors que les méthodes d’analyse simplifiées (§5.4 à §5.6) sont largement mobilisées en pratique, la présente étude propose d’exploiter les méthodes non linéaires (§5.7) sur des cas simples, afin de mettre en évidence de manière progressive les mécanismes sous-jacents à l’analyse structurale selon l’EC2, et d’apporter un éclairage complémentaire sur les analyses élastiques-linéaires et les pratiques de redistribution.

Dans le domaine de la redistribution des moments, on observe notamment que :

• tant que le comportement reste essentiellement élastique, les distributions de moments demeurent proches de celles issues de l’analyse élastique-linéaire ; les effets de fissuration conduisent à des ajustements généralement limités et faiblement corrélés aux stratégies de ferraillage, 
• les phénomènes de redistribution liés aux stratégies de ferraillage deviennent significatifs lorsque les sections entrent dans un domaine fortement non linéaire, 
• la stratégie de ferraillage joue alors un rôle déterminant dans la répartition finale des sollicitations à l’ELU, dans le cadre du phénomène d’adaptation du béton.

 

 

L’adaptation du béton selon l’EC2

 

 

La non linéarité des structures en béton armé

 

Le comportement des ouvrages en béton armé est intrinsèquement non linéaire.

Pour un chargement donné sur une poutre continue, les sollicitations M(x),N(x),T(x) qui prennent naissance dans un ouvrage dépendent :

• d’une part :
  • des sections composites béton-acier qui sont géométriquement variables tout au long de la poutre

• et d’autre part :
  • de la fissuration progressive de ces sections le long de l’abscisse
  • de la plastification de chacun des deux matériaux : acier et béton
  • du fluage et du retrait du béton au fil du temps

A ces aspects peuvent s’ajouter des notions de phasage de construction ou de variations de chargement, ainsi que d’autres particularités que nous n’abordons pas dans cet exposé.

 

 

L’unicité de la solution « exacte »

 

En comparaison des règles de calcul des générations antérieures, l’EC2 bénéficie de nombreux apports théoriques permettant d’appréhender plus précisément les lois de comportement mécanique du béton, de l’acier et la fissuration progressive des sections.

Lors de l’analyse structurale, ces lois peuvent être exploitées via une analyse non linéaire (EC2 §5.7), pour déterminer la sollicitation « exacte » du système, c’est-à-dire conforme aux lois de comportement mobilisées, une fois l’ensemble des caractéristiques de l’ouvrage connues.

 

 

Lorsqu’une telle solution existe, elle est unique.

Dans cet exposé, nous nous intéressons à l’utilisation de ce type d’analyse, pour la détermination des sollicitations dans les poutres continues, afin de comprendre l’impact de différentes stratégies de ferraillage sur les distributions du moment.

Il s’agit également de relier les analyses structurales linéaires-élastiques largement utilisées en pratique (analyse élastique-linéaire, à redistribution limitée, et analyse plastique) avec la philosophie générale de l’EC2.

 

Sur l’exactitude de la solution

La notion d’ « exactitude » utilisée ici est à comprendre au sens de « respectant l’ensemble des lois mécaniques décrites dans l’EC2 ». Ces lois restant des modèles de calcul, l’exactitude reste bien entendu relative au texte et n’a pas de vocation absolue.

 

 

Le principe d’adaptation du béton

 

Lorsque le système est hyperstatique, plusieurs « cheminements » sont possibles pour transmettre un chargement vers les appuis.

Pour un même « coffrage » d’ouvrage, les sollicitations dans la poutre peuvent dès lors être radicalement différentes, selon les choix de ferraillage du concepteur.

Le cas élémentaire ci-dessous, d’une dalle continue sur 2 travées, illustre ce phénomène autour de 2 situations extrêmes :

 

 

Dans le premier cas, l’ouvrage a été ferraillé selon une distribution « RDM » des moments sur une poutre à 3 appuis. L’analyse non linéaire du système aboutit à une solution très proche de l’allure de la courbe RDM d’une poutre élastique-linéaire de même coffrage.

Dans le second cas, l’ouvrage a été « presque » ferraillé comme 2 poutres isostatiques indépendantes, avec cependant quelques aciers supérieurs de continuité. L’analyse non linéaire du système met en évidence la fissuration suivie d’une forte plastification des aciers supérieurs, aboutissant à une distribution de M(x) « presque » assimilable à celle de 2 poutres isostatiques juxtaposées.

On observe ainsi que le comportement global de l’ouvrage dépend fortement des choix de ferraillage retenus, ce qui est souvent résumé par l’idée que « le béton s’adapte » à la conception proposée.

L’utilisation des méthodes non linéaires §5.7 pour l’analyse de poutres continues présente cet intérêt de retrouver et de justifier par le calcul, ce phénomène d’adaptation du béton, en déterminant les sollicitations « exactes » obtenues en fonction du ferraillage, lorsqu’un équilibre peut être déterminé.

 

 

Le calcul de l’adaptation du béton

 

Pour illustrer le propos précédent, nous examinons en détail le comportement de la dalle continue sur 2 travées évoquée précédemment dans le cadre d’une étude de sensibilité. On considère ainsi :

• une poutre (dalle) de 100x28cm^HT en C25/30,
• en continuité sur 2 travées de 7,50m entre axes,
• reposant sur des appuis monolithiques de 30cm de large.
• et pourvue de 10HA12 supérieurs et 6HA12 inférieurs type HA 500B, filant sur tout son linéaire (pour simplifier)

A partir de cette situation de référence, différentes alternatives de ferraillage sont examinées, avec des proportions variables des aciers supérieurs et inférieurs.

L’analyse structurale réalisée est de type :

• non linéaire pour déterminer l’évolution « exacte » de la distribution des moments,
• étudiée pour une unique situation de chargement uniforme sur les 2 travées , mise en place progressivement, de p = 5kN/m² à p=18 kN/m².

En conformité avec l’EC2 :

• le calcul des sollicitations est mené à partir des portées mesurées entre axes,
• les moments de flexion sur appuis sont écrétés au nu des appuis.

Les moments Mt en travée et Ma sur appui sont décrits :

• en kNm,
• et en proportion de « M0 » , M0 étant défini par p x(7,50 – 0,3)²/8 , représentant le moment isostatique calculé à partir des portées entre nu des appuis, pour un chargement donné.

Sont également analysées la valeur des courbures le long de l’abscisse, afin de pouvoir identifier les tronçons fissurés et les tronçons plastifiés de la dalle.

Les résultats de cette étude sont représentés sur la figure d’ensemble ci-dessous :

 

 

En fonction des stratégies de ferraillage et de la fissuration et plastification progressives des sections, on constate que la distribution des moments est fortement variable.

Sous la situation de chargement ultime (dernière ligne), la distribution des moments « suit » les choix de répartition des aciers : l’augmentation des aciers supérieurs conduit à une rechargement des moments sur appui, tandis que leur  diminution conduit à une redistribution des moments vers les travées.

 

 

L’apparition de rotules plastiques

 

L’allure des courbures de la dalle dans les différentes configurations de calcul est intéressante à examiner. Zoomons par exemple sur la configuration p=18 kN/m² et Aa=0,6A0 :

 

 

Tant que les sections restent dans un fonctionnement élastique, fissuré ou non, la courbure reste faible et dans une relation de proportionnalité (c=1/EI.M) avec le moment de flexion.

Lorsque l’on s’approche du moment résistant ultime de la section, ici au voisinage de l’appui, la courbure augmente fortement. Ceci traduit le passage des aciers, et potentiellement du béton, dans un fonctionnement plastique.

Sur les 30cm plastifiés au voisinage de cet appui intermédiaire, la courbure vaut environ 60 10³ m^-1. On peut remarquer que cette valeur est 6x supérieure à la courbure développée dans la section fissurée en travée, qui de son côté est restée dans un fonctionnement élastique.

Les moments sur appui et en en travée étant du même ordre de grandeur (respectivement 75 kNm et 88kNm), l’inertie fissurée de la poutre est comme divisée par 6 au droit de l’appui, du fait de la plastification.

Une coubure de 60 10^-3 m^-1 sur 30cm de large engendre une rotation non négligeable de la poutre de 60 10^-3 x 0,3 = 18mrad entre les 2 extrémités de la zone plastifiée.

Tout se passe comme si la dalle était constituée de 2 tronçons élastiques, reliés par un tronçon plastique, transmettant un moment de 75kNm, et se « déformant à la demande ». On parle de rotule plastique au sens de l’EC2.

Cette rotule, qui en réalité n’est pas ponctuelle mais matérialise bien un tronçon, peut également s’observer sur la courbe de déformée, où se forme presque un « angle ».

 

 

La redistribution des moments

 

La précédente étude peut être avantageusement post-traitée avec un graphe donnant le moment sur appui en fonction du chargement progressif de la dalle, dans les différentes stratégies de ferraillage testées.

 

 

En ce qui concerne la redistribution éventuelle du moment sur appui, ces courbes tendent à montrer les éléments suivants :

• Tant que les sections sont dans leur fonctionnement élastique, la distribution du moments reste dans un fuseau très proche de l’analyse élastique-linéaire.
• Sous faible chargement ELS (sous G), on observe sur cet exemple une redistribution des moments de 25%, liée au fait que les sections sur appuis fissurent plus rapidement que les travées.
• Cette valeur de redistribution est indépendante des distributions de ferraillage
• Lorsque le chargement ELS augmente, la redistribution de 25% disparaît dès lors que travées fissurent également à leur tour de façon significative.
• Sous fort chargement ELS, on observe un léger impact de la distribution des aciers sur la distribution des moments, mais celui-ci reste marginal.
• Sous chargement ELU, lorsque les sections commencent à plastifier, la redistribution des moments converge vers la stratégie de redistribution des aciers retenus, jusqu’au chargement ultime.
• Au chargement ultime, le moment sur appui obtenu correspond à celui pour lequel les aciers ont été calculés : l’adaptation du béton fonctionne parfaitement à l’ELU.

Cette analyse montre que c’est la plastification des sections qui génère une redistribution des moments dans la dalle, et que l’adaptation du béton se produit surtout à l’ ELU ,  et plus précisément lorsque le chargement approche le chargement critique.

A l’ELS, les effets de fissuration peuvent modifier la distribution des moments, mais leur impact est marginal, et sans relation directe avec la redistribution des moments admise à l’ELU.

Ces éléments peuvent expliquer la discrétion de l’EC2 et de l’annexe nationale française quant à la possibilité de redistribuer les moments dans des analyses structurales à l’ELS (voir plus bas sur ce sujet, la pratique historique française).

 

 

La compatibilité des déformations

 

A partir de la situation de ferraillage de référence :

• plus on redistribue les aciers vers les travées,
• plus le moment résistant sur appui est atteint rapidement et le moment sollicitant en travée doit être important pour compenser et maintenir l’équilibre statique de l’ensemble
• plus les travées se déforment pour encaisser le supplément de moment subi
• plus la courbure au droit de l’appui doit être importante pour que la poutre puisse rester continue
• plus les aciers sur appui doivent pouvoir s’étirer en traction et le béton plastifier en compression, pour permettre l’augmentation de courbure nécessaire

Les diagrammes ci-dessous montrent l’analyse locale au droit de la section sur appui, dans le cas le plus redistribué de cette étude (Ma = 42kNm =  0,35M0). La courbure atteint 93 10^-3 m^-1.

 

 

On note que pour atteindre la courbure requise, les aciers tendus ont du aller chercher « loin » sur le palier plastique, tandis que le béton s’est également largement rapproché de sa limite ultime en compression.

Il existe donc une limite mécanique au principe de redistribution, au-delà laquelle les aciers ou le béton ont atteint leur limites mécaniques,  la section sur appui ne peut plus se courber suffisamment pour maintenir la continuité de la poutre : on dit que les déformations sont incompatibles : la rotule plastique cède.

 

 

Les stratégies de rechargement sur appui et l’optimisation des aciers

 

Nous venons d’examiner le cas d’une forte redistribution du moment vers les travées.

Il est également possible d’adopter une stratégie inverse consistant à recharger les aciers sur appui et à diminuer ceux en travée. De la même façon, des tronçons plastiques se forment, cette fois en travée prioritairement, et la distribution exacte du moment évolue selon les raideurs effectives obtenues tout au long du linéaire de la poutre, après plastification, jusqu’à ce que le moment sur appui correspondent à celui recherché, dans la situation de chargement ultime.

D’une manière générale, plus on redistribue le moment sur appui, plus la quantité d’acier nécessaire au ferraillage est faible (dans cette étude on passe globalement de 17HA12 à 12HA12 de gauche à droite).

Ce constat est également valable lorsque l’on doit traiter des situations de chargement différentes sur les travées.  L’utilisation de la redistribution conduit en effet à des épures d’arrêt de barres plus compactes est des optimisations des quantités d’acier dans les ouvrages.

Pour cette raison, les stratégies de ferraillage sont en général, plutôt tournées vers la redistribution que vers le rechargement des moments  sur appuis.

 

 

La pratique « française » de redistribution des moments à l’ELS

 

Historiquement, les règles françaises antérieures aux Eurocodes, notamment le BAEL, ont largement mobilisé la notion d’adaptation du béton pour justifier des redistributions de moments importantes, à la fois à l’ELU et à l’ELS.

Avec l’introduction de l’EC2, de nouveaux outils théoriques permettent de mieux caractériser et encadrer les mécanismes de fissuration, de plastification et de redistribution.

En France, certaines pratiques ont néanmoins été reconduites, notamment afin d’assurer une continuité des usages et de l’expérience acquise. Les recommandations françaises autorisent ainsi, dans certains cas, l’application de redistributions de moments à l’ELS dans des proportions comparables à celles utilisées à l’ELU.

L’analyse non linéaire permet d’apporter un éclairage complémentaire sur ces phénomènes. Dans les cas étudiés, elle montre que les redistributions observées à l’ELS peuvent différer sensiblement de celles admises dans les approches simplifiées.

Ces observations invitent à examiner, au cas par cas, les hypothèses retenues pour l’évaluation des sollicitations à l’ELS, notamment lorsque les niveaux de contraintes ou d’ouverture de fissures constituent un enjeu sensible du projet.

 

Quelles peuvent être les conséquences d’une surestimation de la redistribution des moments sur appui aux ELS ?

Si l’on se replace dans la logique globale de l’EC2, une surestimation de la redistribution à l’ELS produit une sous-évaluation de la fissuration sur les appuis (une sous-évaluation des contraintes de traction dans les chapeaux et une sous-évaluation de l’ouverture de fissure), et  dans certains cas, une plastification des aciers chapeaux dans des situations de service.

L’analyse non linéaire selon l’EC2 montre par exemple qu’en calculant les sections sur la base d’une analyse structurale telle que M_a,ELU = 0,6M₀, c’est-à-dire en mettant 0,6A₀ sur appui, le moment à l’ELS caractéristique n’est pas de 0,6M₀ mais M_a,ELS =  0,83M₀.

En redistribuant le moment à l’ELS dans les mêmes proportions qu’à l’ELU, on sous estime donc de 30% le moment et donc les contraintes dans les aciers tendus sur l’appui intermédiaire.

 

 

Des analyses élastiques-linéaires pour le calcul pratique

 

 

L’utilisation de l’analyse non linéaire

 

De façon très concrète, l’ingénieur peut dimensionner ses poutres continues avec une analyse non linéaire EC2 §5.7, comme utilisée précédemment. Le process consiste alors à tester des solutions de façon itérative jusqu’à ce que la proposition formulée remplisse tous les critères de dimensionnement :

 

 

C’est un process également utilisé dans le cadre de la méthode générale de calcul des poteaux élancés : EC2 §5.8.6.

 

 

Les méthodes EC2 d’analyse simplifiée : l’analyse élastique-linéaire

 

Cependant, dans le cas des poutres, les sollicitations N,T,M peuvent être fortement variables tout au long du linéaire, et par suite les ferraillages.

Il n’est donc pas simple d’établir, de prime abord, une distribution d’aciers « test », sans avoir calculé une première fois les sollicitations N,T,M.

L’EC2 apporte une réponse à ce problème circulaire, en autorisant explicitement des méthodes de calcul simplifiées et plus directes, admettant une détermination approchée des sollicitations, et ignorant l’influence de la distribution d’armatures.

 

 

Ces analyses sont élastiques-linéaires, ce qui simplifie grandement le calcul numérique, permet à la fois l’utilisation de modèles 3D éléments finis pour les cas géométriques complexes et de formulaires usuels de résistance des matériaux pour les cas géométriques simples.

En outre, par hypothèse, le ferraillage étant supposé ne pas impacter la distribution des sollicitations, les armatures sont déterminées de façon explicite après l’analyse structurale, évitant toute nécessité de bouclage dans la recherche de la solution.

Cependant, l’hypothèse d’indépendance des sollicitations vis-à-vis des armatures reste une hypothèse forte qui « rigidifie » l’approche de dimensionnement, éliminant les potentialités d’optimisation qu’offre l’adaptation du béton.

 

 

Les méthodes EC2 d’analyse simplifiée : L’analyse plastique

 

Face à cette limitation, l’EC2 propose une version « améliorée » de l’analyse élastique-linéaire, consistant à formaliser le concept de rotule plastique, introduit précédemment dans l’exposé, de façon à le rendre utilisable avant la phase de détermination des armatures.

Concrêtement, la mise en place de ces rotules  va limiter le moment de flexion transmissible à l’ELU à une valeur M_rot : Au fil des situations de chargement, lorsque l’analyse élastique-linéaire conduit à une valeur supérieure à Mrot, la continuité de la section est comme rompue, le moment est limité à Mrot, la poutre perd un degré de libérté, la part de moment qui n’est plus équilibrée est redistribuée dans les zones adjacentes de la poutre.

Cette méthode , dénommée analyse plastique selon EC2 §5.6, permet de réintroduire de façon simplifiée, dans une analyse linéaire-élastique, le phénomène de redistribution mis en évidence précédemment dans l’analyse non linéaire.

 

 

Comme vu antiérieurement, il y a un intérêt à disposer systématiquement ces rotules plastiques au droit des appuis, afin de redistribuer les moments vers les travées et « comprimer » les épures d’arrêt de barres pour optimiser le ferraillage d’un ouvrage. L’analyse linéaire-élastique avec redistribution limitée des moments - EC2 §5.5 correspond à cette pratique.

 

 

Une dalle sur 4 appuis : analyse élastique-linéaire VS analyse non-linéaire

 

Dans cette partie,  nous établissons une analyse comparative entre les résultats donnés par une analyse structurale simplifiée, de type élastique-linéaire, éventuellement avec redistribution, et ceux donnés par une analyse structurale non linéaire.

Nous reprenons l’exemple de la dalle de 28cm que nous supposons cette fois composée de  3 travées de 7,50m, et dans différentes situations de chargement possibles, à l’ELU et à l’ELS.

Le système étudié est entièrement symétrique.

Les tableaux reproduisent les résultats de simulation pour :

• Mt : moment de la travée de rive
• Ma : moment de continuité de l’appui voisin de rive

 

 

Analyse linéaire-élastique VS analyse non-linéaire

 

On admet que l’analyse élastique-linéaire a conduit au ferraillage de la dalle suivant :

 

 

Sur la base de ce ferraillage, nous examinons successivement les sollicitations à l’ELU obtenues par une analyse élastique-linéaire puis par l’analyse non linéaire, pour les différentes situations de chargement à considérer.

Les résultats sont consignés dans le tableau de synthèse ci-dessous :

 

 

On observe que les extrêma obtenus par l’analyse élastique-linéaire sont très proches de ceux obtenus par l’analyse non linéaire tenant compte du ferraillage retenu :  les résultats sont concluants.

Le principal écart se situe dans la 3^e et la 7^e situation de chargement. Ces situations de chargement font plastifier davantage les travées (qui sont alors sollicitées à 100%), que les appuis (qui sont sollicités à 90%). L’analyse non linéaire met alors en évidence un léger rechargement des appuis et un soulagement de ces travées.

Nous pouvons comparer à présent les résultats pour les situations de chargement à l’ ELS :

 

 

Les résultats sont concluants à l’ELS, avec les mêmes observations qu’à l’ELU.

 

 

Analyse linéaire-élastique avec redistribution VS analyse non-linéaire

 

Cette fois, nous effectuons une analyse structurale en considérant une  redistribution de 30% du moment max sur appui, à la fois à l’ELS et à l’ELU.

Pour cette nouvelle analyse, on retient le tableau de ferraillage suivant :

 

 

Les aciers chapeaux sur l’appui voisin de rive valent désormais 6,41cm²/ml (1ST35+1ST25) au lieu de 10,21cm²/ml (1ST35+1ST60) précédemment.

Selon l’analyse structurale élastique-linéaire, le moment ultime maximal sur appui valait 99kNm.  Du fait du choix de la redistribution, cette valeur est abaissée de 30% et le ferraillage mis en place  permet donc désormais d’équilibrer  70 kNm.

On étudie ainsi chaque situation de chargement, en considérant que :

• si l’analyse élastique-linéaire conduit à un moment sur appui <70kNm, le moment n’est pas redistribué (la section sur appui ne plastifie pas)
• si l’analyse élastique-linéaire conduit à un moment sur appui >70kNm, le moment sur appui est plafonné à 70kNm, et le supplément est redistribué dans les travées adjacentes (la section sur appui plastifie et forme une rotule plastique).

Le tableau ci-dessous ce process de calcul de la redistribution des moments, sur la base des résultats donnés par l’analyse élastique-linéaire :

 

 

Comme dans le cas « sans redistribution », on observe que les sollicitations extrêmes obtenues à partir d’une analyse élastique-linéaire ELU avec redistribution de 30%, correspond bien aux résultats donnés par l’analyse non linéaire tenant compte du nouveau ferraillage associé. Dans son ensemble, la comparaison est à nouveau probante.

Nous effectuons à présent l’analyse à l’ELS, tout en conservant le ferraillage déterminé précédemment.

 

 

Cette fois, les résultats ne sont pas satisfaisants : l’analyse élastique-linéaire avec redistribution de 30% des moments à l’ELS ne donne pas des résultats cohérents avec l’analyse non linéaire.

Dans la situation de chargement qui maximise le moment sur appui, celui-ci vaut 61kNm et non 49 kNm,  il est ainsi redistribué de 13% et non de 30%.

Plus précisément, dans la dernière situation xde chargement à l’ELS caractéristique, qui correspond à toutes travées chargées, l’analyse locale de la section à l’appui donne les résultats suivants :

 

 

On peut constater les points suivants :

• Les contraintes dans les aciers sont au bord de la plastification  et excèdent les contraintes admises à l’ELS caractéristique (0,8f_yk)
• La souplesse de la section sur appui, résultant de la fissuration, est insuffisante pour apporter une redistribution des moments significative, et le moment siégeant dans l’appui (61kNm) reste quasiment égal au moment issu de l’analyse élastique-linéaire (66kNm).

 

 

Cet exemple met en évidence, d’une autre façon, les limites et les conditions d’application de la redistribution des moments à l’ELS.

 

 

Conclusion

 

L’ensemble de cet exposé confirme l’intérêt et la validité des méthodes élastique-linéaires, à redistribution limitée, et plastiques, proposées par l’EC2, qui constituent aujourd’hui la base du dimensionnement pratique des ouvrages dans la profession.

Il montre également que le recours à des analyses non linéaires peut apporter un éclairage complémentaire sur certains mécanismes, notamment pour une meilleure compréhension des mécanismes de redistribution, en particulier lorsque les conceptions ou les conditions de services présentent des sensibilités accrues.

Ces approches permettent d’enrichir la compréhension du comportement des ouvrages, et d’alimenter la réflexion sur les choix de conception et de modélisation.

L’article aborde également les questions liées à la redistribution à l’ELS, dans le cadre des pratiques existantes et des principes généraux de l’EC2, en soulignant l’intérêt d’une lecture cohérente entre modèles de calcul et retour d’expérience.

Ces sujets restent ouverts à discussion et retour d’expérience.